Question

双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的渐近线与过其右焦点且垂直于x轴的直线所围成的三角形面积是（　　）

• A．

  75

  8

• B．

  75

  4

• C．

  15

  2

• D．

  25

  4

Answer 1

分析：根据双曲线方程，求出渐近线方程为y=±

3

4

x和右焦点坐标为F₂（5，0），再求出过右焦点垂直于x轴的直线与渐近线的交点，利用三角形的面积公式即可算出所求三角形面积．

解答：解：∵双曲线的方程为

x2

16

-

y2

9

=1
∴a²=16，b²=9，可得a=4且b=3，c=

a2+b2

=5
由此可得双曲线的渐近线方程为y=±

3

4

x
∵右焦点F₂（5，0），∴过双曲线右焦点且垂直于x轴的直线为x=5
交渐近线y=±

3

4

x于A（5，

15

4

）和B（5，-

15

4

），可得|AB|=

15

2

，
因此，△A0B的面积为S=

1

2

|AB|×c=

75

4

，即为所求三角形的面积
故选：B

点评：本题给出已知双曲线，求过其右焦点且与x轴垂直的直线被两条渐近线所截得的三角形的面积．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．