Question

已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其

中t∈R.

①当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

②当t≠0时，求f(x)的单调区间．

 

Answer 1

①6x＋y＝0②在上递增，上递减，(－t，＋∞)上递增．

【解析】①t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6，又f(0)＝0.

∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－0＝－6(x－0)，即6x＋y＝0.

②t≠0时，f′(x)＝12x2＋6tx－6t2＝6(2x2＋tx－t2)＝6(x＋t)(2x－t)．若t>0，则由f′(x)>0得x<－t或x>，f′(x)<0得－t<x<，

∴f(x)在(－∞，－t)上递增，在上递减．在上递增，

若t<0，则由f′(x)>0得x<或x>－t，由f′(x)<0得<x<－t.

∴f(x)在上递增，上递减，(－t，＋∞)上递增．