Question

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知．
（1）求cosB的值； （2）求b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由C=2A，得到cosC=cos2A，cos2A利用二倍角的余弦函数公式化简，将cosA的值代入求出cosC的值，发现cosC的值大于0，由A和B为三角形的内角，得到A和B都为锐角，进而利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sinC的值，最后利用三角形的内角和定理及诱导公式化简cosB，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入即可求出cosB的值；
（2）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式，由cosB的值，求出ac的值，由a，c，sinA和sinC，利用正弦定理列出关系式，将C=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，用c表示出a，代入ac=24中，求出c的值，进而得到a的值，最后由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．
解答：解：（1）∵，
∴cosC=cos2A=2cos²A-1=，
∵0＜A＜π，0＜C＜π，
∴，
∴，，
∴cosB=cos[π-（A+C）]=-cos（A+C）=-（cosAcosC-sinAsinC）=；
（2）∵•=，
∴，
∴ac=24，
∵，
∴，
由解得，
∴b²=a²+c²-2accosB=，
∴b=5．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．