题目内容
（1）已知定点
、
，动点N满足
（O为坐标原点），
，
，
，求点P的轨迹方程.
（2）如图，已知椭圆
的上、下顶点分别为
，点
在椭圆上，且异于点，直线
与直线
分别交于点
，
（ⅰ）设直线的斜率分别为
、
，求证：
为定值；
（ⅱ）当点运动时，以
为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
（1）
；（2）
，以为直径的圆恒过定点
或
.
解析试题分析：本题主要考查双曲线的定义、标准方程，椭圆的标准方程等基础知识，考查数形结合思想，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用
得到N是
的中点，数形结合，利用
得M、P、
共线，在三角形
中，利用中位线得
，利用
得到F1M⊥PN，在三角形
中，中点和高的垂足重合，得|PM|=|PF1|，由双曲线的定义可知点P的轨迹为双曲线，（ⅰ）利用椭圆的标准方程得到点A、B的坐标，设出点P的坐标，从而求出
和
，利用点P在椭圆上进行
的转化，计算出结果为常数即可，（ⅱ）设出点Q的坐标，根据已知条件求出点M、N的坐标，写出
坐标，利用
，列出等式，求出定点坐标.
试题解析：（1）连接ON∵ ∴点N是MF1中点 ∴|MF2|=2|NO|=2
∵ ∴F1M⊥PN ∴|PM|=|PF1|
∴|∣PF1|-|PF2∣|=||PM|-|PF2||=|MF2|=2＜|F1F2|
由双曲线的定义可知：点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
点P的轨迹方程是 4分
（2）（ⅰ）
，
，令
，则由题设可知
，
直线
的斜率
，
的斜率
，
又点在椭圆上，所以
（），
从而有
. 8分
（ⅱ）设点
是以为直径的圆上任意一点，则
，又易求
得
、
.
所以
、
.
故有
.又
，化简后得到以
为直径的圆的方程为
. 11分
令
，解得
或
. 13分
所以以为直径的圆恒过定点或. 14分
考点：双曲线的定义、标准方程，椭圆的标准方程.
的离心率
，且直线
是抛物线
的一条切线.
为椭圆上一点，直线
，判断l与椭圆的位置关系并给出理由；
于点A，试判断线段AP为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
：
过点
，直线
交
，
两点，过点
且平行于
轴的直线分别与直线
轴相交于点
，
．
的值；
，当直线
与△
的面积相等？若存在，求出点
：
（
）的右焦点
，右顶点
,且
．
：
与椭圆
，且与直线
交于点
,问：是否存在一个定点
,使得
.若存在，求出点
坐标；若不存在，说明理由.
的方程为
,其中
.
，证明：点
是椭圆
上两点，点
的坐标为
.
关于点
对称时，求证：
；
经过点
时，求证：
不可能为等边三角形.
的短半轴长为
，动点
在直线
（
为半焦距）上．
为直径且被直线
截得的弦长为
的圆的方程；
是椭圆的右焦点，过点
，
的长为定值，并求出这个定值．
经过点
，离心率为
．
的方程；
与椭圆
两点，点
是椭圆
与直线
分别与
轴交于点
，试问以线段
为直径的圆是否过
轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
＝λ
，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当
≤λ≤
时，求双曲线离心率e的取值范围．