Question

20．定义在R上函数f（x）满足：f（-x）=f（x），f（x+2）=f（2-x），若曲线y=f（x）在x=-1处的切线方程x-y+3=0，则该曲线在x=5处的切线方程为x+y-7=0．

Answer 1

分析 由f（-x）=f（x），f（x+2）=f（2-x），可令x为x+2，可得f（x）为周期为4的函数，再由x=-1处的切线方程为x-y+3=0，可得f（1），f（5），再通过求导，可得导函数为奇函数且为周期函数，即可求得f′（5），由点斜式方程，即可得到所求切线方程．

解答 解：由f（-x）=f（x），f（x+2）=f（2-x），
即有f（x+4）=f（2-（x+2））=f（-x）=f（x），
则f（x）为周期为4的函数，
若曲线y=f（x）在x=-1处的切线方程为x-y+3=0，
则f（-1）=2，f′（-1）=1，
即有f（5）=f（1）=f（-1）=2，
对f（-x）=f（x），两边求导，可得-f′（-x）=f′（x），
由f（x+4）=f（x），可得f′（x+4）=f′（x），
即有f′（5）=f′（1）=-f′（-1）=-1，
则该曲线在x=5处的切线方程为y-2=-（x-5），
即为x+y-7=0．
故答案为：x+y-7=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的奇偶性和周期性的运用，属于中档题．