Question

10．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$b．
（1）求角A的值：
（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为$\sqrt{13}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：
（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为$\sqrt{13}$，求出AC，再求△ABC的面积．

解答 解：（1）∵2asin（C+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$b，
∴2sinAsin（C+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（A+C），
∴sinAsinC+$\sqrt{3}$sinAcosC=$\sqrt{3}$sinAcosC+$\sqrt{3}$cosAsinC，
∴sinAsinC=$\sqrt{3}$cosAsinC，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∴A=60°；
（2）设AC=2x，
∵AB=3，AC边上的中线BD的长为$\sqrt{13}$，
∴13=9+x²-2×3×x×cos60°，
∴x=4，
∴AC=8，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×3×8×\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．