Question

（2012•许昌三模）已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=sinx-cosx，下列四个命题：
①将f（x）的图象向右平移

π

2

个单位可得到g（x）的图象；
②y=f（x）g（x）是偶函数；
③f（x）与g（x）均在区间[-

π

4

，

π

4

]上单调递增；
④y=

f(x)

g(x)

的最小正周期为2π．
其中真命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：将函数f（x）和g（x）的解析式都提取

2

，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
①利用平移规律“左加右减”即可得到f（x）的图象向右平移

π

2

个单位可得到g（x），本选项为真命题；
②将f（x）与g（x）的解析式代入y=f（x）g（x）中，利用平方差公式及二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数为偶函数得到y为偶函数，本选项为真命题；
③由正弦函数的单调增区间为[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，分别求出两函数的单调增区间，即可作出判断；
④将f（x）与g（x）的解析式代入y=

f(x)

g(x)

中，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，再利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正切函数，找出ω的值，代入周期公式求出函数的最小正周期，即可作出判断．

解答：解：f（x）=sinx+cosx=

2

（

2

2

sinx+

2

2

cosx）=

2

sin（x+

π

4

），
g（x）=sinx-cosx=

2

（

2

2

sinx-

2

2

cosx）=

2

sin（x-

π

4

），
①将f（x）的图象向右平移

π

2

个单位可得到的解析式为：

2

sin（x-

π

2

+

π

4

）=

2

sin（x-

π

4

）=g（x），
本选项为真命题；
②y=f（x）g（x）=（sinx+cosx）（sinx-cosx）=sin²x-cos²x=-cos2x，
∵余弦函数为偶函数，∴y为偶函数，本选项为真命题；
③f（x）=

2

sin（x+

π

4

），g（x）=

2

sin（x-

π

4

），
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得：-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，k∈Z，
令-

π

2

+2kπ≤x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得：-

π

4

+2kπ≤x≤

3π

4

+2kπ，k∈Z，
故f（x）与g（x）均在区间[-

π

4

，

π

4

]上单调递增，本选项为真命题；
④y=

f(x)

g(x)

=

sinx+cosx

sinx-cosx

=

tanx+1

tanx-1

=-

tanx+tan π 4

1-tanxtan π 4

=-tan（x+

π

4

），
∵ω=1，∴T=

π

1

=π，本选项假命题；
综上，真命题的个数为3．
故选C

点评：此题考查了两角和与差的正弦、正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦函数的奇偶性，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式是解本题的关键．