题目内容

已f（x）= $数学公式$ ，数列{a_n}满 $数学公式$ =f（ $数学公式$ ）（n≥2），a₁=1，则a_n=________．

$\text{[math]}$
分析：先根据数列{a_n}满 $\text{[math]}$ =f（ $\text{[math]}$ ）（n≥2）进行化简变形可得 $\text{[math]}$ （n≥2），则{a_n}是首项为1，公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，然后求出通项即可．
解答： $\text{[math]}$ =f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （n≥2）
即{a_n}是首项为1，公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列
∴a_n= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及等差数列的通项公式，属于基础题．

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已知f（x）=-

数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（a_n，-

）在曲线y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：S_n＞

-1，n∈N^*．

已知函数f（x）=sinx，数列{a_n}满足an=

an).
（1）求证：当x∈(0，

)时，不等式

x＜f(x)＜x恒成立；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：

（2012•天门模拟）已知函数f（x）的图象经过点（1，λ），且对任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2．数列{a_n}满足a1=λ-2，2an+1=

2n，n为奇数

f(an)，n为偶数

（I）求f（n）（n∈N^*）的表达式；
（II）设λ=3，求a₁+a₂+a₃+…+a_2n；
（III）若对任意n∈N^*，总有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求实数λ的取值范围．

（2012•卢湾区一模）已知函数f（x）=

（t为常数）．
（1）当t=1时，在图中的直角坐标系内作出函数y=f（x）的大致图象，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）．
（2）设a_n=f（n）（n∈N^*），当t＞10，且t∉N^*时，试判断数列{a_n}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．
（3）利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*），…在上述构造过程中，若x_i（i∈N^*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．若可用上述方法构造出一个常数列{x_n}，求t的取值范围．

（2012•卢湾区一模）已知函数f（x）=

（t为常数）．
（1）当t=1时，在图中的直角坐标系内作出函数y=f（x）的大致图象，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）．
（2）设a_n=f（n）（n∈N^*），当t＞10，且t∉N^*时，试判断数列{a_n}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．
（3）利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*），…在上述构造过程中，若x_i（i∈N^*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．若取定义域中的任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求实数t的值．