Question

14．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，F₁，F₂为左右焦点，P（m，n）为椭圆上异于顶点的一点，记∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，下列结论正确的是②④⑤
①若△PF₁F₂是锐角三角形，则sinα＜cosβ．
②椭圆的离心率e=$\frac{sin（α+β）}{sinα+sinβ}$；
③若△PF₁F₂是锐角三角形，则它的外心到三边距离之比为sinα：sinβ：sin（α+β）；
④存在一个定圆与以P为圆心PF₂为半径的圆相切；
⑤$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$≥（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）²．

Answer 1

分析 ①由锐角三角形可得α+β＞$\frac{π}{2}$，即为α＞$\frac{π}{2}$-β，两边取正弦，即可判断；
②运用正弦定理和离心率公式，即可判断；
③若△PF₁F₂是锐角三角形，设外心为O，过O作OC，OD，OE垂直于PF₁，PF₂，F₁F₂，运用圆心角和圆周角的关系，以及解直角三角形，即可判断；
④由椭圆的定义可得PF₁+PF₂=2a，即有PF₁=2a-PF₂，由两圆内切的条件即可判断；
⑤设m=acosα，n=bsinα，由乘1法和基本不等式，即可得到最小值，即可判断．

解答 解：①若△PF₁F₂是锐角三角形，则α+β＞$\frac{π}{2}$，即为α＞$\frac{π}{2}$-β，则有sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，故①错误；
②由正弦定理可得$\frac{P{F}_{1}}{sinβ}$=$\frac{P{F}_{2}}{sinα}$=$\frac{{F}_{1}{F}_{2}}{sin（α+β）}$=$\frac{P{F}_{1}+P{F}_{2}}{sinα+sinβ}$，可得e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{sin（α+β）}{sinα+sinβ}$，故②正确；
③若△PF₁F₂是锐角三角形，设外心为O，过O作OC，OD，OE垂直于PF₁，PF₂，F₁F₂，由圆心角为圆周角的2倍，
∠COF₁=β，在直角△OCF₁中，cosβ=$\frac{OC}{R}$，同理可得cosα=$\frac{OD}{R}$，cos（α+β）=$\frac{OE}{R}$，即有外心到三边距离之比为cosα：cosβ：cos（α+β），故③错误；
④由椭圆的定义可得PF₁+PF₂=2a，即有PF₁=2a-PF₂，则存在以F₁为圆心，2a为半径的圆与以P为圆心PF₂为半径的圆相内切，故④正确；
⑤设m=acosα，n=bsinα，$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{{b}^{2}si{n}^{2}α}$=（$\frac{1}{{a}^{2}co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{{b}^{2}si{n}^{2}α}$）（cos²α+sin²α）=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{si{n}^{2}α}{{a}^{2}co{s}^{2}α}$
+$\frac{co{s}^{2}α}{{b}^{2}si{n}^{2}α}$≥$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{2}{ab}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）²．故⑤正确．
故答案为：②④⑤．

点评 本题考查椭圆的定义和方程及性质，同时考查正弦定理和同角的平方关系，以及基本不等式的运用，三角形的外心的性质和解直角三角形的知识，考查运算能力，属于中档题和易错题．