Question

已知椭圆的右焦点F（1，0），离心率为e．
（1）若，求椭圆方程；
（2）设直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF，BF的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上．
（i）将k表示成e的函数；
（ii）当时，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的右焦点F（1，0），，建立方程，可得椭圆的几何量，从而可得椭圆方程；
（2））（i）直线y=kx（k＞0）与椭圆方程联立，求出A，B的坐标，利用坐标原点O在以MN为直径的圆上，可得，化简可得结论；
（ii）当时，结合（i）的结论，即可求k的取值范围．
解答：解：（1）∵椭圆的右焦点F（1，0），，
∴
∴c=1，a=
∴=1
∴椭圆方程为；
（2）（i）直线y=kx（k＞0）与椭圆方程联立，可得
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁=-，x₂=
∴y₁=-k•，y₂=k•
∵坐标原点O在以MN为直径的圆上
∴
∴
∴
∴；
（ii）∵，∴
设=t，则t∈
∴，∴
∵t∈，∴
∴或．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．