Question

在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在面积的最大值为.

解析试题分析：（1）根据椭圆的性质易得椭圆方程；（2）先设过点E的直线方程，然后把直线方程和椭圆方程联立得关于y的一元二次方程，解出，，则 ，从而得△面积的表达式，再由不等式性质求得面积最大值．
试题解析：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以，为焦点，
长半轴长为2的椭圆，                   3分
故曲线C的方程为．            6分
（2）存在面积的最大值．              7分
因为直线过点，可设直线的方程为或（舍），
则整理得 ．            8分
由．设．
解得 ，  ．则 ．
因为．          11分
设，，．
则在区间上为增函数．所以．
所以，当且仅当时取等号，即．
所以的最大值为．                       14分
考点：1、椭圆的标准方程及性质；2、直线与椭圆相交问题；3、不等式的性质．