Question

定义在R上的奇函数f（x），满足f(

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)=0，且在（0，+∞）上单调递减，则xf（x）＞0的解集为（　　）

• A．{x|x＜-

  1

  2

  或x＞

  1

  2

  }
• B．{x|0＜x＜

  1

  2

  或-

  1

  2

  ＜x＜0}
• C．{x|0＜x＜

  1

  2

  或x＜-

  1

  2

  }
• D．{x|-

  1

  2

  ＜x＜0或x＞

  1

  2

  }

Answer 1

分析：由已知中f （

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）=0，且在（0，+∞）上单调递减，可得f （-

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）=0，且在区间（-∞，0）上单调递减，分类讨论后，可得xf（x）＞0的解集

解答：解：∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （

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）=0，
∴f （-

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2

）=0，且在区间（-∞，0）上单调递减，
∵当x＜0，当-

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2

＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0
当x＞0，当0＜x＜

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2

时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0
综上xf（x）＞0的解集为{x|0＜x＜

1

2

或-

1

2

＜x＜0}
故选B

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了转化的数学思想，判断出f （-

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）=0，且在区间（-∞，0）上单调递减是解题的关键．