Question

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）已知矩阵M=，（Ⅰ）求M^-1；（Ⅱ）求矩阵M的特征值和对应的特征向量；（Ⅲ）计算M¹⁰⁰β．
（2）曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是（2，0），求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长．
（3）已知a＞0，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）根据逆矩阵公式可求M^-1，
（Ⅱ）先求特征值，M的特征值满足：，λ₁=3，λ₂=-1，进而可求对应的特征向量；（Ⅲ）先将β用特征向量进行表示，即β=4α₁+-3α₂，再求M¹⁰⁰β；
（2）设P（ρ，θ）是曲线C上的任意一点，则|OP|=ρ=1+cosθ，点A在曲线C上，曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形是以点A为圆心、|AP|为半径的圆，故可求其周长．
（3）利用分析法证明．原不等式等价于：，两边平方
，从而可将问题转化为证明≥2即可．
解答：（1）解：（Ⅰ）∵
∴1×1-2×2=-3
∴M^-1=．
（Ⅱ）M的特征值满足：
∴λ₁=3，λ₂=-1
λ₁=3时，由方程组，对应的特征向量为：
λ₂=-1时，由方程组，对应的特征向量为，
（Ⅲ）令β=mα₁+nα₂，将具体数据代入得：m=4，n=-3，

（2）解：设P（ρ，θ）是曲线C上的任意一点，则|OP|=ρ=1+cosθ，
由余弦定理，得|AP|²=|OP|²+|OA|²-2|OP|•|OA|cosθ
=（1+cosθ）²+2²，
当时，|AP|有最大值为，
将点A（2，0）代入曲线C的极坐标方程，是满足的，知点A在曲线C上，
所以曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形是以点A为圆心、
为半径的圆，其周长为．
（3）证明：原不等式等价于：
等价于：
即：
上式等价于：
即：≥2
由基本不等式：，上式显然成立，
∴原不等式成立．
点评：本题是选做题，涉及矩阵，极坐标方程，不等式的证明，综合性强，掌握的知识点多，属于中档题．