Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PC⊥平面ABCD，PC=AB=1．

(1)求直线AC与平面PAB所成角的大小；

(2)在射线CP上确定一点Q，求CQ为多少时，能使二面角D-AQ-B的度数为θ，且cosθ=．

第18题图

Answer 1

答案：(1)解法一：过点C作为CE⊥PB，垂足为E，连接AE、EC、AC，如图a所示．

∵AB⊥PC，AB⊥BC，

∴AB⊥平面PBC，平面PAB⊥平面PBC，

故CE⊥平面PAB，∠EAC为所求的角

在Rt△AEC中，EC=，AC=，∴∠EAC=．

第18题图

解法二：分别以直线CD，CB，CP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz，=(1，1，0)，=(-1，0，0)，=(0，1，-1)，设n=(x，y，z)为平面PAB的一个法向量，则,∴,∴,取y=1．

∴n=(0，1，1)．设直线AC与平面PAB所成的二面角为θ，则sinθ=，θ=.

(2)解法一：如图b所示，过点B作BF⊥QA，垂足为F，

连接FD，BD；

∵△QAB≌△QAO，FD⊥QA，

∴∠BFD是二面角D-QA-B的平面角

设QC=x，则FD=FB=,

cos∠DFB=，解得x=即为所求的CQ的长．

第18题图(续)

解法二：设：Q(0，0，t)，m=(x，y，z)为平面QAD的一个法向量，=(0，1，0)，=(-1，0，t)．

由，得

取x=1，∴m=(1，0，)；

同理，平面QAB的一个法向量n=(0，1，)．

|cosθ|=，解得t=.