Question

11．已知正四面体ABCD，点E，F分别为AB，CD的中点，边长为2．
（1）求BC与AF所成的角的余弦值；
（2）BC与AD所成的角；
（3）CE与AF所成角余弦值．

Answer 1

分析 （1取BD中点G，则FG∥BC，∠AFE是BC与AF所成的角（或所成角的补角），由此能求出BC与AF所成的角的余弦值．
（2）取BC中点P，则AP⊥BC，DP⊥BC，BC⊥平面APD，由此能求出BC与AD所成的角．
（3）取BF中点O，连结EO，CO，则EO∥AF，∠CEO是CE与AF所成角（或所成角的补角），由此能求出CE与AF所成角余弦值．

解答 解：（1）取BD中点G，连结AG、FG、AF，
则FG∥BC，∴∠AFE是BC与AF所成的角（或所成角的补角），
∵AG=AF=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，FG=1，
∴cos∠AFE=$\frac{A{F}^{2}+F{G}^{2}-A{G}^{2}}{2AF•GF}$=$\frac{3+1-3}{2•\sqrt{3}•1}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴BC与AF所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（2）取BC中点P，连结AP、DP，
则AP⊥BC，DP⊥BC，且AP∩DP=P，
∴BC⊥平面APD，
又AD?平面APD，∴BC⊥AD，
∴BC与AD所成的角为90°．
（3）取BF中点O，连结EO，CO，则EO∥AF，
∴∠CEO是CE与AF所成角（或所成角的补角），
∵OE=$\frac{AF}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，CE=$\sqrt{3}$，CO=$\sqrt{C{F}^{2}+（\frac{BF}{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴cos∠CEO=$\frac{C{E}^{2}+O{E}^{2}-C{O}^{2}}{2•CE•OE}$=$\frac{3+\frac{3}{4}-\frac{7}{4}}{2•\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴CE与AF所成角余弦值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．