Question

19．$\frac{3}{2}$+$\frac{9}{4}$+$\frac{25}{8}$+$\frac{65}{16}$+…+$\frac{n•{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$=$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 根据通项$\frac{n•{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$=n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，将等式转化成求得等差数列和等比数列前n项和公式，即可求得答案．

解答 解：$\frac{n•{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$=n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{3}{2}$+$\frac{9}{4}$+$\frac{25}{8}$+$\frac{65}{16}$+…+$\frac{n•{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$，
=1+2+3+…+n+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}$，
=$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故答案为：$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等差数列等比数列前n项和公式，考查转化思想，属于基础题．