题目内容

求“方程（
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）x+（
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）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（
3
5
）x+（
4
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）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为______．
类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R上单调递增，
由x6+x2=（x+2）3+（x+2）即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），
∴x2=x+2，
解之得，x=-1或x=2．
所以方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{-1，2}．
故答案为：{-1，2}．
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）x+（
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）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（
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）x+（
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）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，类比上述解题思路，方程x6+x2=x3+6x2+13x+10的所有实数解之和为
1
1
．
问题“求方程3x+4x=5x的解”有如下的思路：方程3x+4x=5x可变为(
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)x+(
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)x=1，考察函数f（x）=(
3
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)x+(
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)x可知，f（2）=1，且函数f（x）在R上单调递减，∴原方程有唯一解x=2．仿照此解法可得到不等式：x6-（2x+3）＞（2x+3）3-x2的解是
{x|x＜-1或x＞3}
{x|x＜-1或x＞3}
．
（2013•黑龙江二模）求“方程（
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）x+（
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）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（
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）x+（
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）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为
{-1，2}
{-1，2}
．
已知a，b是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=
2x-k
x2+1
的定义域为[a，b]．
（1）当k=0时，求函数f（x）的值域；
（2）证明：函数f（x）在其定义域[a，b]上是增函数；
（3）在（1）的条件下，设函数g(x)=x3-3m2x+
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 (-
1
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≤x≤
1
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， 0＜m＜
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)，若对任意的x1∈[-
1
2
，
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]，总存在x2∈[-
1
2
，
1
2
]，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围．

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