Question

设f（x）=x³-kx（k＞0）．
（1）若f′（2）=0，求f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若函数f（x）=x³-kx（k＞0）在[1，+∞）上是单调函数，
（Ⅰ）求证：0＜k≤3；（Ⅱ）设x₀≥1，f（x₀）≥1，且满足f（f（x₀））=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（1）求导数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程；
（2）（Ⅰ）f（x）在[1，+∞）上是单调函数，即f'（x）≤0或f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，从而解出k；
（Ⅱ）可设f（x₀）=m，再由f（x）=x³-kx（k＞0），证明m=x₀即可．

解答：解：（1）由f（x）=x³-kx（k＞0），得到f′（x）=3x²-k（k＞0），
∵f′（2）=0，∴f′（2）=3×2²-k=0，即k=12
则f（x）=x³-12x，f（2）=2³-12×2=-16，
故f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y+16=0．
（2）证明：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²-k（k＞0）
又函数f（x）=x³-kx（k＞0）在[1，+∞）上是单调函数，
则①若函数f（x）=x³-kx（k＞0）在[1，+∞）上是增函数，则在[1，+∞）上f′（x）≥0恒成立，
即在[1，+∞）上恒有3x²≥k，故k≤3，又由k＞0，∴0＜k≤3；
②若函数f（x）=x³-kx（k＞0）在[1，+∞）上是减函数，则在[1，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即在[1，+∞）上恒有3x²≤k，故k不存在；
综上，0＜k≤3．
（Ⅱ）设f（x₀）=m，则由f（f（x₀））=x₀
得到f（m）=x₀，又f（x）=x³-kx（k＞0）
∴

x03-kx0=m m3-km=x0

两式相减得到（x03-m3）-k（x₀-m）=m-x₀
即(x0-m)(x02+m2+x0m+1-k)=0
∵x₀≥1，f（x₀）≥1即m≥1，
∴x02+m2+x0m+1-k≥4-k，而0＜k≤3，
∴x02+m2+x0m+1-k≥1＞0，从而只有x₀-m=0，即m=x₀，
∴f（x₀）=x₀．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．