Question

已知函数f（x）=ln（x+1）满足0＜f（1-2x）-f（x）＜1．
（1）求x的取值范围；
（2）若g（x）是偶函数且满足g（x+2）=g（x），当0≤x≤1时，有g（x）=f（x），求g（x） 在x∈[1，2]上的解析式．

Answer 1

（1）由于函数f（x）=ln（x+1），故f（1-2x）=ln（2-2x），
故f（1-2x）-f（x）=ln

2-2x

1+x

，∴0＜ln

2-2x

1+x

＜1，
∴

x+1＞0 2-2x＞0 e＞ 2-2x 1+x ＞1

，即

-1＜x＜1 2-2x 1+x ＞1 2-2x 1+x ＜e

，即

-1＜x＜1 3x-1 1+x ＜0 (2+e)x-(2-e) x+1 ＞0

，解得-1＜x＜

2-e

2+e

，
故x的取值范围为（-1，

2-e

2+e

）．
（2）若g（x）是偶函数且满足g（x+2）=g（x），故函数g（x）是周期等于2的函数．
∵当0≤x≤1时，有g（x）=f（x），当-1≤x≤0时，有g（x）=f（-x）=ln（1-x），
故g（x） 在x∈[1，2]上的解析为 ln（1-x+2）=ln（3-x）．