Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若

BA

•

BC

=2，且b=2

2

，求a和c的值．

Answer 1

分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB-2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．
（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a²+b²=12，再根据完全平方式易得a=c=

6

．

解答：解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，
故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，
因此cosB=

1

3

．（6分）
（II）解：由

BA

•

BC

=2，可得accosB=2，
又cosB=

1

3

，故ac=6，
由b²=a²+c²-2accosB，
可得a²+c²=12，
所以（a-c）²=0，即a=c，
所以a=c=

6

．（13分）

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．