Question

已知实数4，m，9构成一个等比数列，m为等比中项，则圆锥曲线

x2

m

+y2=1的离心率是

30

6

或

7

．

Answer 1

分析：根据等比中项列式，求出m=±6．再分别根据m=6和m=-6求出相应的圆锥曲线方程，利用离心率的公式加以计算，即可得到该圆锥曲线的离心率．

解答：解：∵实数4，m，9构成一个等比数列，
∴m²=4×9=36，得m=±6
当m=6时，圆锥曲线为椭圆

x2

6

+y2=1，得a=

6

，b=1
∴c=

a2-b2

=

5

，离心率为e=

c

a

=

30

6

当m=-6时，圆锥曲线为双曲线

x2

-6

+y2=1即y2-

x2

6

=1，
得a'=1，b'=6，所以c'=

a′2+b′2

=

7

∴双曲线的离心率e=

c′

a′

=

7

综上所述，该圆锥曲线的离心率为

30

6

或

7

故答案为：

30

6

或

7

点评：本题给出含有字母参数的圆锥曲线方程，求圆锥曲线的离心率．着重考查了等比中项的定义与列式、椭圆和双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．