Question

将正△ABC分割成n²（n≥2，n∈N）个全等的小正三 角形（图1，图2分别给出了n=2，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f（n），则有f（2）=2，f（3）=

 

…，f（n）=

 

．

Answer 1

分析：根据等差中项法分别求解n=2，3，4时的值，由此归纳出f（n）的值即可．

解答：解：由题意可得，（各点放的数用该点的坐标表示）
当n=2时，根据等差数列的性质可得，A+B=2D，A+C=2E，B+C=2F，且A+B+C=1
2（D+E+F）=2（A+B+C）=2，D+E+F=1
∴f（2）=2=

3×4

6

当n=3时，根据等差数列的性质可得，A+B=D+E，A+C=I+H，B+C=F+G，且A+B+C=1
从而可得D+E+H+I+F+F=2（A+B+C）=2
同样根据等差中项可得，M的数为

1

3

∴f（3）=3+

1

3

=

10

3

=

4×5

6

同理可得，f（4）=5=

5×6

6

f（n）=

(n+1)(n+2)

6

故答案为：

10

3

，

(n+1)(n+2)

6

点评：本题目主要考查了数列的通项公式的求解在实际问题中的应用，解题的关键是灵活利用等差中项，进行求解．考查了考试发现问题、解决问题的能力．