题目内容

已知数列{a_n}与{b_n}有如下关系：a₁=2，a_n+1= $数学公式$ （an+ $数学公式$ ），b_n= $数学公式$ ．
（1）求数列{b_n}的通项公式．
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，当n≥2时，求证：S_n＜n+ $数学公式$ ．

（1）解：∵b_n= $\text{[math]}$ ．
∴b₁= $\text{[math]}$ ，
∵a_n+1= $\text{[math]}$ （a_n+ $\text{[math]}$ ），
∴b_n+1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（2）证明：当n≥2时， $\text{[math]}$
（当且仅当n=2时取等号）且 $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$
以上式子累和得 $\text{[math]}$
∴10[S_n-a₁-a₂-（n-2）]≤S_n-1-a₁-（n-2）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴S_n＜n+ $\text{[math]}$ ．得证
分析：（1）根据b_n= $\text{[math]}$ ，a_n+1= $\text{[math]}$ （a_n+ $\text{[math]}$ ），可得b_n+1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，迭代可得数列{b_n}的通项公式；
（2）利用当n≥2时， $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，以上式子累和得 $\text{[math]}$ ，进而利用放缩法可证S_n＜n+ $\text{[math]}$ ．
点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项公式，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，有难度．