Question

设函数f(x)=

x

ex

+c（c∈R）
（1）求f（x）的单调区间、最大值；
（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值；
（2）令g（x）=|lnx|-f（x）=|lnx|-x•e^-x-c，x∈（0，+∞），分类讨论：①当x≥1时，②当0＜x≤1时，利用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．

解答：解：（1）f′(x)=

1-x

ex

…（1分）
由f'（x）=0得x=1
当x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，1）；单调递减区间是（1，+∞）…（3分）
∴f（x）的最大值为f(1)=

1

e

+c…（4分）
（2）令g（x）=|lnx|-f（x）=|lnx|-x•e^-x-c，x∈（0，+∞）…（5分）
①当x∈（1，+∞）时，g（x）=lnx-x•e^-x-c
∴g′(x)=

1

x

-e-x+x•e-x=

1

x

+e-x•(x-1)
∵e^-x＞0，x-1＞0∴g'（x）＞0
∴g（x）在（1，+∞）上单调递增　　　　　　　　　　　　…（7分）
②当x∈（0，1）时，lnx＜0，g（x）=-lnx-x•e^-x-c
则g′(x)=-

1

x

+e-x•(x-1)
∵-

1

x

＜-1，e-x＞0，x-1＜0
∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递减
综合①②可知，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥g（1）=-e^-1-c…（9分）
当g（1）＞0即c＜-e^-1时，g（x）没有零点，故关于方程|lnx|=f（x）的根的个数为0
当g（1）=0即c=-e^-1时，g（x）只有一个零点，故关于方程|lnx|=f（x）的根的个数为1　　　　　　　　　　　　…（11分）
当g（1）＜0即c＞-e^-1时，当x∈（1，+∞）时
由（1）知g(x)=lnx-xe-x-c≥lnx-(

1

e

+c)＞lnx-1-c
要使g（x）＞0，只需lnx-1-c＞0即x∈（e^1+c，+∞）
当x∈（0，1）时，由（1）知g(x)=-lnx-xe-x-c≥-lnx-(

1

e

+c)＞-lnx-1-c
要使g（x）＞0，只需-lnx-1-c＞0即x∈（0，e^-1-c）
所以c＞-e^-1时，g（x）有两个零点　　　…（13分）
综上所述，当c＜-e^-1时，关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数为0
当c=-e^-1时，关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数为1
当c＞-e^-1时，关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数为2　　…（14分）

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法．