Question

【题目】某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品

（百台），其总成本为万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入满足，假设该产品产销平衡，根据上述统计数据规律求：

（Ⅰ）要使工厂有盈利，产品数量应控制在什么范围？

（Ⅱ）工厂生产多少台产品时盈利最大？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）600.

【解析】

试题（Ⅰ）由于销售收入是一个关于产品数量x的一个分段函数，另外计算工厂的盈利需要将销售收入r（x)减去总的成本g（x)万元，所以在两段函数中分别求出盈利大于零的时候产品数量的范围，及可求得结论；（Ⅱ）通过二次函数的最值的求法即可得到盈利最大值时对应的产品数x的值，本小题单位的转化也是易错点.

试题解析：

解：依题意得，设利润函数为，则，

所以 2分

（Ⅰ）要使工厂有盈利，则有f（x)＞0，因为

f（x)＞0， 4分

或， 6分

即. 7分

所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内． 8分

（Ⅱ）当时，

故当x＝6时，f（x)有最大值4.5. 10分

而当x＞7时，.

所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． 12分