Question

已知F为抛物线C：y=x²的焦点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线C上的两点，且x₁＜x₂．
（1）若

FA

=λ

FB

(λ∈R)，则λ为何值时，直线AB与抛物线C所围成的图形的面积最小？该面积的最小值是多少？
（2）若直线AB与抛物线C所围成的面积为

4

3

，求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由题知，先写出抛物线C的焦点坐标，利用题中向量条件得出A，B两点坐标的关系式，从而写出直线AB的方程为y=kx+

1

4

，再利用定积分求出直线AB与抛物线C所围的面积的表达式，最后利用基本不等式求其最小值即可；
（2）先由题知A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），且x₁＜x₂，写出直线AB的方程为y-x₁²=k（x-x₁），即y=（x₁+x₂）x-x₁x₂，再利用定积分求出直线AB与抛物线C所围的面积得到关于x₁，
x₂的方程，最终消去x₁，x₂得出点M的轨迹方程．

解答：解：（1）由题知，抛物线C的焦点F(0，

1

4

)，A(x1，

x

2 1

)，B(x2，

x

2 2

)，所以

FA

=(x1，

x

2 1

-

1

4

)，

FB

=(x2，

x

2 2

-

1

4

)．
因为

FA

=λ

FB

，所以

FA

=λ

FB

共线，即
x1(

x

2 2

-

1

4

)-x2(

x

2 1

-

1

4

)=0，
即(x2-x1)(x1x2+

1

4

)=0．
因为x₁＜x₂，所以x₁x₂=-

1

4

．（2分）
由题设条件x₁＜x₂知，直线AB的斜率k一定存在，且
k=

y2-y1

x2-x1

=

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

=x1+x2．（3分）
设直线AB的方程为y=kx+

1

4

，则直线AB与抛物线C所围的面积
S=

∫

x2 x1

(kx+

1

4

-x2)dx=(-

1

3

x3+

k

2

•x2+

1

4

x)

|

x2 x1

=(-

1

3

x

3 2

+

k

2

•

x

2 2

+

1

4

x2)-(-

1

3

x

3 1

+

k

2

•

x

2 1

+

1

4

x1)
=-

1

3

(

x

3 2

-

x

3 1

)+

k

2

(

x

2 2

-

x

2 1

)+

1

4

(x2-x1)
=(x2-x1)[-

1

3

(

x

2 2

+x2x1+

x

2 1

)+

k

2

(x2+x1)+

1

4

]
=

(x2+x1)2-4x2x1

[-

1

3

(x2+x1)2+

1

3

x2x1+

k

2

(x2+x1)+

1

4

]
=

k2+1

[-

1

3

k2-

1

3

×

1

4

+

k

2

•k+

1

4

]

=

1

6

(k2+1)

k2+1

≥

1

6

，
当且仅当k=0，即x₁=-x₂，即λ=-1时，S_min=

1

6

．（5分）
（2）由题知A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），且x₁＜x₂，则直线AB的斜率k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

x 2 1 - x 2 2

x2-x1

=x1+x2．
设直线AB的方程为y-x₁²=k（x-x₁），即y=（x₁+x₂）x-x₁x₂，
则直线AB与抛物线C所围的面积
S=

∫

x2 x1

[(x1+x2)x-x1x2-x2]dx
=(

x1+x2

2

•x2-x1x2x-

1

3

x3)

|

x2 x1

=

1

6

(x2-x1)3，
因为S=

4

3

，所以

1

6

(x2-x1)3=

4

3

，得x2-x1=2．（8分）设M（x，y），则x=

x1+x2

2

=x1+1，
y=

y1+y2

2

=

x 2 1 + x 2 2

2

=

x

2 1

+2x1+2=(x1+1)2+1，
所以y=x²+1．
故点M的轨迹方程为y=x²+1．（10分）

点评：本小题主要考查定积分在求面积中的应用、直线与圆锥曲线的综合问题、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．