题目内容
已知函数f(x)=ax(a∈R)，g(x)=
+2lnx(b∈R)，G(X)=f(x)-g(x)，且G（1）=0，G（x）在x=1的切线斜率为0．
（1）求a，b
（2）设an=G′（
）+n-2，求证：
+
+…+
＜
（3）若bn=2af（bn-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），且b1=1，cn=
．求证：1≤
ci＜
．
| b |
| x |
（1）求a，b
（2）设an=G′（
| 1 |
| n |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| 11 |
| 18 |
（3）若bn=2af（bn-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），且b1=1，cn=
| 1 |
| bn |
| n |
 |
| i=1 |
| 411 |
| 280 |
分析：（1）先得函数G（x）=f（x）-g（x）=ax-
-2lnx(x＞0)，根据G（1）=0，G（x）在x=1的切线斜率为0，可得两方程，从而可求a，b的值；
（2）先求导函数G′(x)=1+
-
(x＞0)，根据an=G′（
）+n-2，可得an=n2-n-1，从而
=
n=1，2时，直接计算可证；n≥3时，利用放缩法进行证明即可；
（3）根据bn=2af（bn-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），可得bn=2bn-1+3cos（nπ）（n≥2），从而可得{bn-(-1)n}为首项为2，公比为2的等比数列，根据cn=
，可得cn=
，再分n为奇数，偶数分类讨论进行证明即可．
| b |
| x |
（2）先求导函数G′(x)=1+
| 1 |
| x2 |
| 2 |
| x |
| 1 |
| n |
| 1 |
| an |
| 1 |
| n2-n-1 |
n=1，2时，直接计算可证；n≥3时，利用放缩法进行证明即可；
（3）根据bn=2af（bn-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），可得bn=2bn-1+3cos（nπ）（n≥2），从而可得{bn-(-1)n}为首项为2，公比为2的等比数列，根据cn=
| 1 |
| bn |
| 1 |
| (-1)n+2n |
解答：（1）解：G（x）=f（x）-g（x）=ax-
-2lnx(x＞0)
∵G（1）=0，∴a-b=0
∵G′(x)=a+
-
，G（x）在x=1的切线斜率为0．
∴G′（1）=0
∴a+b=2
∴a=1，b=1
（2）证明：G′(x)=1+
-
(x＞0)
∵an=G′（
）+n-2，
∴an=n2-n-1
∴
=
n=1时，
=-1＜
n=2时，
+
=-1+1=0＜
n≥3时，
=
＜
=
(
-
)
∴
+
+…+
＜-1+1+
(1-
+
-
+…+
-
)
=
(1+
+
-
-
-
)=
(
-
-
-
)＜
（3）证明：∵bn=2af（bn-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），
∴bn=2bn-1+3cos（nπ）（n≥2），即：bn=2bn-1+3（-1）n（n≥2），
则bn-(-1)n=2[bn-1-(-1)n-1]
又b1-(-1)1=2
∴{bn-(-1)n}为首项为2，公比为2的等比数列．
∴bn-(-1)n=2n
∴bn=(-1)n+2n
∵cn=
∴cn=
∴
ci=
+
+…+
≥1
又2n＞1
∴2n2n+1-2n+2n+1-1＞2n2n+1
即：（2n+1）（2n+1-1）＞2n2n+1
∴
+
＜
+
当n为奇数时，
ci=
+
+…+
+
=
+
+
+(
+
)+…+ (
+
)
≤
+
+
+
+
+…+
+
=
+
+
+
+
+…+
+
＜
+
+
+
=
+
+
+
=
当n为偶数时，
ci=
+
+…+
+
=
+
+
+(
+
)+…+ (
+
)+
≤
+
+
+
+
+…+
+
=
+
+
+
+
+…+
+
＜
+
+
+
=
+
+
+
=
综上所述：1≤
ci＜
| b |
| x |
∵G（1）=0，∴a-b=0
∵G′(x)=a+
| b |
| x2 |
| 2 |
| x |
∴G′（1）=0
∴a+b=2
∴a=1，b=1
（2）证明：G′(x)=1+
| 1 |
| x2 |
| 2 |
| x |
∵an=G′（
| 1 |
| n |
∴an=n2-n-1
∴
| 1 |
| an |
| 1 |
| n2-n-1 |
n=1时，
| 1 |
| a1 |
| 11 |
| 18 |
n=2时，
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 11 |
| 18 |
n≥3时，
| 1 |
| an |
| 1 |
| n2-n-1 |
| 1 |
| n2-n-2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n-2 |
| 1 |
| n+1 |
∴
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| n-2 |
| 1 |
| n+1 |
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| 3 |
| 11 |
| 6 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 11 |
| 18 |
（3）证明：∵bn=2af（bn-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），
∴bn=2bn-1+3cos（nπ）（n≥2），即：bn=2bn-1+3（-1）n（n≥2），
则bn-(-1)n=2[bn-1-(-1)n-1]
又b1-(-1)1=2
∴{bn-(-1)n}为首项为2，公比为2的等比数列．
∴bn-(-1)n=2n
∴bn=(-1)n+2n
∵cn=
| 1 |
| bn |
∴cn=
| 1 |
| (-1)n+2n |
∴
| n |
|
| i=1 |
| 1 |
| 2-1 |
| 1 |
| 22+1 |
| 1 |
| 2n+(-1)n |
又2n＞1
∴2n2n+1-2n+2n+1-1＞2n2n+1
即：（2n+1）（2n+1-1）＞2n2n+1
∴
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+1-1 |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n+1 |
当n为奇数时，
| n |
|
| i=1 |
| 1 |
| 2-1 |
| 1 |
| 22+1 |
| 1 |
| 2n-1+1 |
| 1 |
| 2n-1 |
=
| 1 |
| 2-1 |
| 1 |
| 22+1 |
| 1 |
| 23-1 |
| 1 |
| 24+1 |
| 1 |
| 25-1 |
| 1 |
| 2n-1+1 |
| 1 |
| 2n-1 |
≤
| 1 |
| 2-1 |
| 1 |
| 22+1 |
| 1 |
| 23-1 |
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 25 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n |
=
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 25 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n |
＜
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| ||
1-
|
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 8 |
| 411 |
| 280 |
当n为偶数时，
| n |
|
| i=1 |
| 1 |
| 2-1 |
| 1 |
| 22+1 |
| 1 |
| 2n-1-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
=
| 1 |
| 2-1 |
| 1 |
| 22+1 |
| 1 |
| 23-1 |
| 1 |
| 24+1 |
| 1 |
| 25-1 |
| 1 |
| 2n-2+1 |
| 1 |
| 2n-1-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
≤
| 1 |
| 2-1 |
| 1 |
| 22+1 |
| 1 |
| 23-1 |
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 25 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
=
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 25 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n |
＜
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| ||
1-
|
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 8 |
| 411 |
| 280 |
综上所述：1≤
| n |
|
| i=1 |
| 411 |
| 280 |
点评：本题以函数为载体，考查数列与不等式的综合，考查导数的几何意义，考查放缩法的运用，难度较大，尤其（3）问需要较强的思维能力．
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已知函数f(x)=a-
，若f（x）为奇函数，则a=（ ）
| 1 |
| 2x+1 |
A、
| ||
| B、2 | ||
C、
| ||
| D、3 |