题目内容

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减，当且仅当x＞4时．f（x）＞x2﹣4x+5=g（x）．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若函数y=m与函数f（x），g（x）的图象共有3个交点，求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）因为函数在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减，所以﹣1，2是函数的两个极值点，即﹣1，2是f'（x）=0的两个根，

因为f'（x）=3x2+2ax+b，所以由根与系数之间的关系得．

所以．

令，则H'（x）=3x2﹣5x﹣2=（3x+1）（x﹣2），

所以函数H（x）在（﹣∞，），（2，+∞）上为增函数，在（）上为减函数，故，解得c=﹣11．

所以此时．

（2）因为，则，

故当﹣21＜m＜﹣时，直线y=m与函数f（x）的图象有3个交点，与g（x）的图象没有交点．

又g（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1≥1，故当m＞1时，直线y=m与g（x）的图象有2个交点，与f（x）的图象有1个交点，

又f（4）=g（4）=5，故当1＜m＜5或m＞5时，直线y=m与函数f（x），g（x）的图象共有3个交点，

故实数m的取值范围．

练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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