Question

已知函数f（x）=x²+bx在点A（1，f（1））处的切线与直线3x-y+2=0平行，若数列{

1

f(n+1)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₄的值为（　　）

• A、

  1007

  2014

• B、

  2014

  2015

• C、

  2015

  2016

• D、

  1007

  2016

Answer 1

分析：由函数f（x）=x²+bx在点A（1，f（1））处的切线与直线3x-y+2=0平行，利用导数的几何意义，能求出f（x）=x²+x，从而得到

1

f(n+1)

=

1

n+1

-

1

n+2

，由此利用裂项求和法能求出结果．

解答：解：∵f（x）=x²+bx，
∴f′（x）=2x+b，f（1）=1+b，
∴f′（1）=2+b，
∵函数f（x）=x²+bx在点A（1，f（1））处的切线与直线3x-y+2=0平行，
∴2+b=3，解得b=1，
∴f（x）=x²+x，
∴

1

f(n+1)

=

1

(n+1)2+(n+1)

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴S₂₀₁₄=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2015

-

1

2016

）
=

1

2

-

1

2016

=

1007

2016

．
故选D．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要注意导数的几何意义和裂项求和法的合理运用．