Question

已知锐角三角形ABC的三个内角为A，B，C，其对应边分别为a，b，c，b=2

3

，向量

m

=（cosB，cosC），

n

=（c-a，b），且

m

•

n

=acosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求a+c的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由平面向量的基本定理及正弦定理的推论（边角互化），可将

m

•

n

=acosB，转化为sinCcosB-sinAcosB+sinBcosC=sinAcosB，利用诱导公式及两角和的正弦公式，可得cosB=

1

2

，进而结合B为三角形内角得到角B的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式，可得a+c≤4

3

，又由三角形两边之和大于第三边可得a+c＞2

3

，综合可得a+c的取值范围．

解答：解：（I）∵

m

=（ cosB，cosC），

n

=（c-a，b），
∴

m

•

n

=（c-a）cosB+bcosC=acosB．
即sinCcosB-sinAcosB+sinBcosC=sinAcosB
即sin（B+C）=2sinAcosB
即sinA=2sinAcosB
即cosB=

1

2

即B=

π

3

（II）由b=2

3

，结合余弦定理可得
b²=a²+c²-2accosB
即12=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3（

a+c

2

）²=

1

4

（a+c）²，
故（a+c）²≤48
故a+c≤4

3

又由三角形两边之和大于第三边可得a+c＞2

3

故a+c的取值范围为（2

3

，4

3

]

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，正弦定理，两角和的正弦公式，给值求角，余弦定理，基本不等式，是向量，三角函数，不等式的综合应用，难度较大．