如图(1).在矩形ABCD中.已知AB=3AD.E.F为AB的两个三等分.AC.DF交于G.建立适当直角坐标系.证明:EG⊥DF．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图(1)，在矩形ABCD中，已知AB=3AD，E、F为AB的两个三等分，AC、DF交于G，建立适当直角坐标系，证明：EG⊥DF．

答案：略
解析：

证明：如图(2)，以AB所在的直线为x轴，点A为原点的平面直角坐标系，设AD=a，则A(0，0)，E(a，0)，B(3a，0)，D(0，a)，C(3a，a)．由截距式得DF所在的直线的方程为

，即x＋2y－2a=0．∵，

∴AC所在直线的方程为，即x－3y=0．

由解得

即点G的坐标为．

由直线的两点式斜率公式，得

．

∵∴DF⊥EG．

练习册系列答案

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某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km其中曲线段AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．分别以直线AB，AD为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线段AF所在抛物线的方程；
（2）设点P的横坐标为x，高科技工业园区的面积为S．试求S关于x的函数表达式，并求出工业园区面积S的最大值．

如图1，在多面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h。

（Ⅰ）求侧面ABB₁A₁与底面ABCD所成二面角的大小；

（Ⅱ）证明：EF∥面ABCD；

（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V_估=S_中截面·h来计算.已知它的体积公式是V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），试判断V_估与V的大小关系，并加以证明。

（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）

如图1，在一个边长为a、b(a>b>0)的矩形内画一梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b.向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )

图1

A. B. C. D.

如图16，在矩形ABCD中，AB=3,BC=3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在面ABC内的射影O恰好落在AB上.

图16

（1）求证：AC′⊥BC′；

（2）求AB与平面BC′D所成的角的正弦值；

（3）求二面角C′-BD-A的正切值.

己知在锐角ΔABC中，角所对的边分别为，且

(I )求角大小；

(II)当时，求的取值范围.

20．如图1，在平面内，是的矩形，是正三角形，将沿折起，使如图2，为的中点，设直线过点且垂直于矩形所在平面，点是直线上的一个动点，且与点位于平面的同侧。

（1）求证：平面；

（2）设二面角的平面角为，若，求线段长的取值范围。

21.已知A，B是椭圆的左，右顶点，，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列,R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交X轴于T点

(1)求椭圆C的方程；

（2）求三角形MNT的面积的最大值

22. 已知函数，

（Ⅰ）若在上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为，试求和的值。

（Ⅱ）若为奇函数：

（1）是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（2）如果当时，都有恒成立，试求的取值范围.

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