题目内容
设直线l：2x+y+2=0关于原点对称的直线为l'，若l′与椭圆
的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为
的点P的个数为（ ）A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】分析：先求出直线l′的方程，与椭圆方程联立求得交点A和B的坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长，再根据三角形的面积求出AB边上的高，设出P的坐标，求出P到直线l′的距离即为AB边上的高，得到关于a和b的方程，把P代入椭圆方程得到关于a与b的另一个关系式，两者联立利用根的判别式判断出a与b的值有几对即可得到交点有几个．
解答：解：直线l关于原点对称的直线l′为y=-2x+2，与椭圆联立
∴
或
则A（0，2），B（1，0），所以AB=
∵△PAB的面积为
，所以AB边上的高为
设P的坐标为（a，b），则
P到直线y=-2x+2的距离d=
=
∴2a+b-2=1或2a+b-2=-1
∴2a+b=3或2a+b=1
联立得
①或
②
解①得8a2-12a+5=0，因为△=144-160=-16＜0，所以方程无解；
由②得：8a2-4a-3=0，△=16+96=112＞0，
所以a有两个不相等的根，则对应的b也有两个不等的根，所以满足题意的P的坐标有两个．
故选B．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
解答：解：直线l关于原点对称的直线l′为y=-2x+2，与椭圆联立
∴
或则A（0，2），B（1，0），所以AB=
∵△PAB的面积为
，所以AB边上的高为设P的坐标为（a，b），则
P到直线y=-2x+2的距离d=
=∴2a+b-2=1或2a+b-2=-1
∴2a+b=3或2a+b=1
联立得
①或②解①得8a2-12a+5=0，因为△=144-160=-16＜0，所以方程无解；
由②得：8a2-4a-3=0，△=16+96=112＞0，
所以a有两个不相等的根，则对应的b也有两个不等的根，所以满足题意的P的坐标有两个．
故选B．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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