Question

在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D，则．在四面体A-BCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则类似的结论是什么？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：利用平面中的射影定理证明；将平面中的三角形类比成空间的三棱锥，三角形的两边垂直类比成三棱锥的三棱垂直，得到类比性质通过作辅助线将空间的证明问题转化为三角形中的性质．
解答：解：类似的结论是：如图，在四面体A-BCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则．                    …（4分）
证明如下：
连接BH并延长交CD于E，连接AE．∵AB，AC，AD两两垂直，
∴AB⊥平面ACD．又∵AE?平面ACD，∴AB⊥AE．
在Rt△ABE中，有．     ①…（8分）
又易证CD⊥AE，
∴在Rt△ACD中，． ②…（10分）
将②代入①得 ．…（12分）
点评：本题考查利用类比推理得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论．