Question

9．已知函数f（x）=x²-alnx-1，函数F（x）=a-1-$\frac{a}{1+\sqrt{x}}$．
（Ⅰ）如果f（x）在[3，5]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=2，x＞0且x≠1时，比较$\frac{f（x）}{x-1}$与F（x）的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，再分离参数，求出函数的最小值即可；
（Ⅱ）由题意得到$\frac{f（x）}{x-1}$-F（x）=$\frac{{x}^{2}-2lnx-x+2\sqrt{x}-2}{x-1}$，构造函数h（x）=x²-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-2，根据导数求出函数的最值，即可比较其大小．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）在[3，5]上是单调递增函数，
∴f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$≥0在[3，5]上恒成立，
∴a≤2x²在[3，5]上的最小值18，
即a≤18，
∴实数a的取值范围（-∞，18]；
（Ⅱ）当a=2时，$\frac{f（x）}{x-1}$=$\frac{{x}^{2}-2lnx-1}{x-1}$，x＞0且x≠1，
F（x）=a-1-$\frac{a}{1+\sqrt{x}}$=1-$\frac{2}{1+\sqrt{x}}$，x≥0，
∴当a=2时，x＞0且x≠1，
∴$\frac{f（x）}{x-1}$-F（x）=$\frac{{x}^{2}-2lnx-x+2\sqrt{x}-2}{x-1}$
设h（x）=x²-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-2，
∴h（x）的定义域为x＞0，
∴h′（x）=2x-$\frac{2}{x}$-1+$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{（\sqrt{x}-1）（2x\sqrt{x}+2x+\sqrt{x}+2）}{x}$
∴当0＜x＜1时，h′（x）＜0，此时h（x）单调递减，
当x＞1时，h′（x）＞0，此时h（x）单调递增，
∴当x＞0，且x≠1时，h（x）＞h（1）=0，
当0＜x＜1时，x-1＜0，
∴当0＜x＜1时，$\frac{h（x）}{x-1}$＜0，
又∵当x＞1时，x-1＞0，
∴当x＞1时，$\frac{h（x）}{x-1}$＞0，
∴当a=2时，当0＜x＜1时，$\frac{f（x）}{x-1}$＜F（x），当x＞1时，$\frac{f（x）}{x-1}$＞F（x）．

点评 本题考查了导数和函数的最值的关系，分离参数，构造函数是关键，属于中档题．