题目内容
在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c=1．
（1）若C=
，cos（θ+C）=
，0＜θ＜π，求cosθ；
（2）若C=
，sinC+sin（A-B）=3sin2B，求△ABC的面积．
（1）若C=
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
（2）若C=
| π |
| 3 |
分析：（1）先计算sin（θ+
），根据cosθ=cos[（θ+
）-
]，利用差角的余弦公式，即可求cosθ；
（2）根据sinC+sin（A-B）=3sin2B，可得B=
或a=3b，再分类讨论，即可求△ABC的面积．
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（2）根据sinC+sin（A-B）=3sin2B，可得B=
| π |
| 2 |
解答：解：（1）∵C=
，cos（θ+C）=
，0＜θ＜π，
∴sin（θ+
）=
=
∴cosθ=cos[（θ+
）-
]=cos（θ+
）cos
+sin（θ+
）sin
=
；
（2）∵sinC+sin（A-B）=3sin2B，
∴sin（A+B）+sin（A-B）=6sinBcosB，
∴2sinAcosB=6sinBcosB，
∴cosB=0或sinA=3sinB，
∴B=
或a=3b，
若B=
，C=
，则S=
c•c•tanA=
；
若a=3b，C=
，则由余弦定理得a2+b2-ab=1
∴b2=
，
∴S=
absinC=
．
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
∴sin（θ+
| π |
| 6 |
1-
|
| 4 |
| 5 |
∴cosθ=cos[（θ+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
3
| ||
| 10 |
（2）∵sinC+sin（A-B）=3sin2B，
∴sin（A+B）+sin（A-B）=6sinBcosB，
∴2sinAcosB=6sinBcosB，
∴cosB=0或sinA=3sinB，
∴B=
| π |
| 2 |
若B=
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 6 |
若a=3b，C=
| π |
| 3 |
∴b2=
| 1 |
| 7 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 28 |
| 3 |
点评：本题考查三角恒等变换，考查三角函数的化简，考查三角形面积的计算，属于中档题．
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