Question

已知函数f（x）=

x2

2

-(1+2a)x+

4a+1

2

ln(2x+1)，a＞0．
（Ⅰ）已知函数f（x）在x=2取得极小值，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞

1

4

时，若存在x₀∈（

1

2

，+∞），使得f（x₀）＜

1

2

-2a2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导，利用函数f（x）在x=2取得极小值，则f'（x）=0，解a．
（Ⅱ）解导数不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0，判断函数的单调区间．
（Ⅲ）将不等式转化为最值恒成立问题，利用导数求函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为(-

1

2

，+∞)，且f'（x）=x-（1+2a）+

4a+1

2x+1

，…（1分）
因为函数f（x）在x=2取得极小值，所以f'（2）=0，
即f'（2）=2-（1+2a）+

4a+1

4+1

=0，．…（2分）
解得a=1．…（3分）
经检验：a=1时，函数f（x）在x=2取得极小值，所以a=1．…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=x-（1+2a）+

4a+1

2x+1

=

(2x+1)(x-1-2)+4a+1

2x+1

=

(2x-1)(x-2a)

2x+1

令f'（x）=0，则x=

1

2

或x=2a…（6分）
i、当2a＞

1

2

，即a＞

1

4

时，

x	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以f（x）的增区间为（-

1

2

，

1

2

）和（2a，+∞），减区间为（

1

2

，2a）…（7分）
ii、当2a=

1

2

，即a=

1

4

时，f'（x）=

(2x-1)2

2x+1

≥0在（-

1

2

，+∞）上恒成立，
所以f（x）的增区间为（-

1

2

，+∞）                     …（8分）
iii、当0＜2a＜

1

2

，即0＜a＜

1

4

时，

x	（- 1 2 ，2a）	2a	（2a， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以f（x）的增区间为（-

1

2

，2a）和（

1

2

，+∞），减区间为（2a，

1

2

）…（9分）
综上所述：
0＜a＜

1

4

时，f（x）的增区间为（-

1

2

，2a）和（

1

2

，+∞），减区间为（2a，

1

2

）a=

1

4

时，f（x）的增区间为（-

1

2

，+∞）a＞

1

4

时，f（x）的增区间为（-

1

2

，

1

2

）和（2a，+∞），减区间为（

1

2

，2a）
（Ⅲ）由题意，a＞

1

4

时，存在x₀∈（

1

2

，+∞），f（x₀）＜

1

2

-2a2，即a＞

1

4

时，f（x）在（

1

2

，+∞）上的最小值小于

1

2

-2a2．…（10分）
由（Ⅱ）a＞

1

4

时，f（x）在（

1

2

，2a）上递减，在（2a，+∞）上递增，f（x）在（

1

2

，+∞）上的最小值为f（2a），…（11分）
所以f（2a）＜

1

2

-2a2，
即2a2-2a(1+2a)+

4a+1

2

ln(4a+1)＜

1

2

-2a2…（12分）
化简得ln（4a+1）＜1，4a+1＜e，a＜

e-1

4

，
又a＞

1

4

，所以

1

4

＜a＜

e-1

4

，所求实数a的取值范围为(

1

4

，

e-1

4

)．…（13分）

点评：本题考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的极值与最值问题，对应含有参数的不等式恒成立问题，往往转化为最值恒成立．实质是求函数的最大值或最小值．