Question

ABC—A₁B₁C₁是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC₁的中点.

(1)求证：AB₁D⊥平面ABB₁A₁；

(2)求点C到平面AB₁D的距离；

(3)求平面AB₁D与平面ABC所成二面角(锐角)的大小.

Answer 1

解：(1)取AB₁中点M, 则

.

又,

两式相加可得.

由于,

.

∴DM⊥AA₁.又DM⊥AB,

∴DM⊥平面ABB₁A₁, 而DM平面AB₁D.

∴平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁.

(2)一方面A₁B⊥DM, 另一方面,

∴A₁B⊥AB₁.∴A₁B⊥平面AB₁D.

∴A₁B是平面AB₁D的法向量.

∴C点到平面AB₁D的距离

.

(3)平面ABC的法向量为, 而平面AB₁D的法向量是, 故所求二面角θ为

,

∴θ=45°.