Question

【题目】已知定义域为的函数（常数，为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若恒成立，求实数的最大整数值.

Answer 1

【答案】(1) 时，的单调递增区间为，无递减区间；时，的单调递增区间为，递减区间为.

(2) 的最大整数值为3.

【解析】分析：（Ⅰ）先求导，再分类讨论，即可求出函数的单调区间，

（Ⅱ）分离参数，转化为对于恒成立.再根据导数与函数的最值的关系，通过分类讨论，求出的取值范围，进而求出的最大整数值.

详解：解：（Ⅰ）.

①当时，由，得，此时在上为增函数.

②当时，令，有，

∴在上为增函数，

令，有，∴在上为减函数，

综上，时，的单调递增区间为，无递减区间；时，的单调递增区间为，递减区间为.

（Ⅱ）∵对于恒成立，

即对于恒成立.

由函数的解析式可得：，分类讨论：

①由（Ⅰ）知，时，在上为增函数，

∴，

∴恒成立，∴.

②当时，在上为减函数，在上为增函数i.

∴，∴，

∴，

设，

∴，

∴在上递增，而，

，，，

∴在上存在唯一使得，且，

∵，∴的最大整数值为3，使，即的最大整数值为3.

综上，的最大整数值为3.