题目内容

设a＞0，

是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

【答案】分析：（1）根据偶函数的定义f（-x）=f（x）即可得到答案．
（2）用定义法设0＜x₁＜x₂，代入作差可得．
解答：解：（1）依题意，对一切x∈R，有f（-x）=f（x），即

∴

=0对一切x∈R成立，则

，∴a=±1，∵a＞0，∴a=1．
（2）设0＜x₁＜x₂，则

=

，
由x₁＞0，x₂＞0，x₂-x₁＞0，
得

，
得

，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
点评：本题主要考查偶函数的定义和增函数的判断方法．

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（1）如果实数a、b满足a＞1，ab=1，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）若a=2，b=

，且k＞0，问函数f（x）的图象是不是轴对称图形？如果是，求出函数f（x）图象的对称轴；如果不是，请说明理由．

已知定义在R上的函数f（x）满足：
①对任意的实数x，y，有f（x+y+1）=f（x-y+1）-f（x）f（y）；
②f（1）=2；
③f（x）在[0，1]上为增函数．
（Ⅰ）求f（0）及f（-1）的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（Ⅲ）（说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可．）
（ⅰ）设a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长，求证：f（a），f（b），f（c）也是某个三角形三边的长；
（ⅱ）解不等式f（x）＞1．

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（1）如果实数a、b满足a＞1，ab=1，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）若a=2， $数学公式$ ，且k＞0，问函数f（x）的图象是不是轴对称图形？如果是，求出函数f（x）图象的对称轴；如果不是，请说明理由．

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②f（1）=2；
③f（x）在[0，1]上为增函数．
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（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（Ⅲ）（说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可．）
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