题目内容

已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）=a^x+k•b^x．
（1）如果实数a、b满足a＞1，ab=1，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）若a=2， $数学公式$ ，且k＞0，问函数f（x）的图象是不是轴对称图形？如果是，求出函数f（x）图象的对称轴；如果不是，请说明理由．

解：（1）由已知， $\text{[math]}$ ，于是f（x）=a^x+k•a^-x，则f（-x）=a^-x+k•a^x，…（1分）
若f（x）是偶函数，则f（x）=f（-x），即a^x+k•a^-x=a^-x+k•a^x，
所以（k-1）（a^x-a^-x）=0对任意实数x恒成立，所以k=1．…（3分）
若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），即a^-x+k•a^x=-（a^x+k•a^-x），
所以（k+1）（a^x+a^-x）=0对任意实数x恒成立，所以k=-1．…（5分）
综上，当k=1时，f（x）是偶函数；
当k=-1时，f（x）奇函数，
当k≠±1，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．…（6分）
（2）因为a＞1，0＜b＜1，所以函数y=a^x是增函数，y=b^x减函数，
由k≤0知，y=a^x+k•b^x是增函数，所以函数f（x）在R是增函数．…（8分）
证明如下：
设x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
因为a＞1，0＜b＜1，x₁＜x₂，k≤0，
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以函数f（x）在R是增函数．…（11分）
（3）f（x）=2^x+k•2^-x，若函数f（x）的图象是轴对称图形，
且对称轴是直线x=m，则函数f（x+m）是偶函数，
即对任意实数x，f（m-x）=f（m+x），…（14分）
2^m-x+k•2^-（m-x）=2^m+x+k•2^-（m+x），
化简得（2^x-2^-x）（2^m-k•2^-m）=0，…（16分）
因为上式对任意x∈R成立，
所以2^m-k•2^-m=0， $\text{[math]}$ ．…（17分）
所以，函数f（x）的图象是轴对称图形，其对称轴是直线 $\text{[math]}$ ．…（18分）
分析：（1）根据已知条件，将 $\text{[math]}$ 代入函数表达式，得f（x）=a^x+k•a^-x，再利用奇函数和偶函数的定义，用比较系数的方法，得出函数奇偶性的两种不同情况；
（2）因为a＞1，0＜b＜1，根据指数函数单调性的定理，可得函数y=a^x是增函数，y=b^x减函数，再根据函数单调性的运算法则，得出函数f（x）=a^x+k•b^xR上的是增函数，最后用函数单调性的定义加以证明；
（3）根据函数f（x）=2^x+k•2^-x的图象是轴对称图形且对称轴是直线x=m，则函数f（x+m）是偶函数，即得到即对任意实数x，f（m-x）=f（m+x），代入表达式，采用比较系数法，可得2^m-k•2^-m=0，最终求出 $\text{[math]}$ ．
点评：本题是一道函数综合题，属于难题．着重考查了函数的单调性与奇偶性和函数图象的对称性，解题时要注意有关定义和结论的正确理解与准确应用．