Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：
①对任意的实数x，y，有f（x+y+1）=f（x-y+1）-f（x）f（y）；
②f（1）=2；
③f（x）在[0，1]上为增函数．
（Ⅰ）求f（0）及f（-1）的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（Ⅲ）（说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可．）
（ⅰ）设a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长，求证：f（a），f（b），f（c）也是某个三角形三边的长；
（ⅱ）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）赋值法：由①取x=y=0，可求得f（0），取x=-1，y=1及条件②可求得f（-1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜测函数f（x）是奇函数，在①中取x=-1，根据奇函数定义即可证明；
（Ⅲ）因为a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度，所以0＜a，b，c＜1，不妨设c≥b≥a，由条件③得f（c）≥f（b）≥f（a）＞0，只需证f（a）+f（b）＞f（c），由a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度可得1≥1-

b-a

2

＞1-

c

2

＞0，由f（x）在[0，1]上的单调性及①即可证明；

解答：解：（Ⅰ）因为对任意的实数x，y，有f（x+y+1）=f（x-y+1）-f（x）f（y），
取x=y=0，得f（1）=f（1）-[f（0）]²，解得f（0）=0，
取x=-1，y=1，得f（1）=f（-1）-f（-1）f（1），
又f（1）=2，所以2=f（-1）-2f（-1），解得f（-1）=-2，
所以f（-1）=-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜测函数f（x）是奇函数，证明如下：
取x=-1，得f（y）=f（-y）-f（-1）f（y），即f（y）=f（-y）+2f（y），
所以f（-y）=-f（y），即对任意实数y，有f（-y）=-f（y）；
所以函数f（x）为奇函数；
（Ⅲ）（i）证明：因为a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度，
所以0＜a，b，c＜1，不妨设c≥b≥a，由条件③得f（c）≥f（b）≥f（a）＞0，
为了证明“f（a），f（b），f（c）也是三角形三边的长”，只需证f（a）+f（b）＞f（c），
因为a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度，所以1＞

a+b

2

＞

c

2

＞0，1≥1-

b-a

2

＞1-

c

2

＞0，
又因为f（x）在[0，1]上为增函数，所以f（

a+b

2

）＞f（

c

2

）＞0，f（1-

b-a

2

）＞f（1-

c

2

）＞0，
所以f（a）+f（b）=f（a）-f（-b）=f（1-

b-a

2

）•f（

a+b

2

）＞f（1-

c

2

）•f（

c

2

）=f（2-c）-f（2），
在①中取x=0，y=1得f（2）=f（0）；取x=0，y=1-c得f（2-c）=f（c）；

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，对能力要求较高．