Question

【题目】已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为.

（1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值；

（2）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.

Answer 1

【答案】(1)2;(2)有最小值4，此时.

【解析】

（1）先求出以点为切点的抛物线的切线方程，得出，利用面积求出点的纵坐标，然后求出。

（2）先分别写出直线PA，PB方程，利用都过点P写出直线，代入抛物线方程利用弦长公式求出，及点到直线的距离，写出表达式及最值。

（1）设，，，则，抛物线方程写成，，则以点为切点的抛物线的切线的方程为：，又，即，，， ，故 ，∴，，从而.

（2）由（1）知，即：，同理，由直线，都过点，即，则点，的坐标都满足方程，

即直线的方程为：，又由直线过点，∴，

联立得，

，

点到直线的距离，

，

当且仅当时，有最小值4，此时.