Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知圆C：，椭圆E：（）的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当时，求直线l的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或.

【解析】

（1）圆的方程已知，根据条件列出方程组，解方程即得；（2）设，，显然直线l的斜率存在，方法一：设直线l的方程为：，将直线方程和椭圆方程联立，消去，可得，同理直线方程和圆方程联立，可得，再由可解得，即得；方法二：设直线l的方程为：，与椭圆方程联立，可得，将其与圆方程联立，可得，由可解得，即得.

（1）记椭圆E的焦距为（）.右顶点在圆C上，右准线与圆C：相切.解得，

，椭圆方程为：.

（2）法1：设，，

显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：.

直线方程和椭圆方程联立，由方程组消去y得，整理得.

由，解得.

直线方程和圆方程联立，由方程组消去y得，

由，解得.

又，则有.

即，解得，

故直线l的方程为或.

分法2：设，，当直线l与x轴重合时，不符题意.

设直线l的方程为：.由方程组

消去x得，，解得.

由方程组消去x得，，

解得.

又，则有.

即，解得，

故直线l的方程为或.