Question

将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2ⁿ个偶数进行分组如下：
第一组　　      第二组　　　　        第三组                   …
{2，4}   {6，8，10，12}  {14，16，18，20，22，24，26，28}      …
则2010位于第

9

组．

Answer 1

分析：首先将正偶数集合按大小顺序排列是一个等差数列，先求出2010是此数列中的第几项，然后按第n组有2ⁿ个偶数进行分组，每组中集合元素的个数正好是等比数列，求出答案即可．

解答：解：正偶数集按从小到大的顺序排列组成数列2，4，6…，2n．
2n=2010，n=1005
由第一组{2，4}的元素是2个
第二组{6，8，10，12}的元素是4个
第三组{14，16，18，20，22，24，26，28}的元素是8个
…
第m组的元素是2^m个
2+4+8+…+2^m=

2×(1-2m)

1-2

=2^m+1-2
2^m+1-2＜1005，解得2^m＜503.5
m∈z，2⁸=256，2⁹=512，256＜503.5＜512
所以，m=9，
则2010位于第 9组
故答案为：9．

点评：本题考查归纳推理的应用，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想．此题表面是一个集合题，实际上考查等差数列的通项公式和等比数列求和公式，但过程中一定要思路清晰，否则容易出错．