Question

已知函数f（x）=mx³-x的图象上以N（1，n）为切点的切线倾斜角为

π

4

．
（1）求m，n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1992，对于x∈[-1，3]恒成立？若存在，求出最小的正整数k，否则请说明理由．
（3）求出f（sinx）+f（cosx）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，利用在N（1，n）为切点的切线倾斜角为

π

4

．得到f（1）=n，f'（1）=1进行求解．
（2）要使f（x）≤k-1992，对于x∈[-1，3]恒成立，实质是求函数f（x）在[-1，3]上的最大值即可．
（3）利用函数的单调性和三角函数的辅助角公式求f（sinx）+f（cosx）的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=3mx2-1．f′(1)=tan

π

4

=1，
∴3m-1=1，
∴m=

2

3

，
从而由f(1)=

2

3

-1=n得n=-

1

3

，
∴m=

2

3

，n=-

1

3

…（4分）
（2）f′(x)=2x2-1=2(x+

2

2

)(x-

2

2

)
令f′(x)=0得x=±

2

2

…（5分）
在[-1，3]中，当x∈[-1，-

2

2

]时f′(x)＞0，f(x)为增函数，
当x∈[-

2

2

，

2

2

]时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，
∴此时f(x)在x=-

2

2

时取得极大值
当x∈[-

2

2

，3]时f(x)＞0，f(x)为增函数时，f（3）为f（x）的极大值…（8分）
比较f(-

2

2

)，f(3)知，f(x)max=f(3)=15…（9分）
∴由f（x）≤k-1992，知15≤R-1992
∴k≥2007，即存在k=2007．…（10分）
（3）f（sinx）+f（cosx）=

2

3

(sin3x+cos3x)-(sinx+cosx)=(sinx+cosx)[

2

3

(1-sinxcosx)-1]
=(sinx+cosx)[

2

3

(1-sinxcosx-

3

2

)]
=

1

3

(sinx+cosx)(-1-2sinxcosx)
=-

1

3

(sinx+cosx)3=-

2

3

2

sin3(x+

π

4

)
∴-

2

3

2

≤f(sinx)+f(cosx)≤

2

3

2

…（14分）

点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值的应用，要求熟练掌握导数的应用．