Question

已知函数f（x）=elnx+

k

x

（其中e是自然对数的底数，k为正数）
（I）若f（x）在x=x₀处取得极值，且x₀是f（x）的一个零点，求k的值；
（II）若k∈[1，e]，求f（x）在区间[

1

e

，1]上的最大值；
（III）设函数g（x）=f（x）-kx在区间（

1

e

，e）上是减函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析：利用导数工具研究函数的极值，单调性与最值问题．
（1）x₀是极值点导数值为0，函数值也为0，解方程得k．
（2）函数在闭区间上的最值：先利用导数判断单调性，后求最值．
（3）函数在区间上是减函数故其导数在该区间上≤0恒成立，故可解得k的范围．

解答：解：（I）由已知f'（x₀）=0，即

e

x0

-

k

x02

=0，（2分）
∴x0=

k

e

，又f（x₀）=0，即eln

k

e

+e=0，∴k=1．（4分）

（II）f′(x)=

e

x

-

k

x2

=

e(x- k e )

x2

，
∵1≤k≤e，∴

1

e

≤k≤1，（6分）
由此得x∈(

1

e

，

k

e

)时，f（x）单调递减；
x∈(

k

e

，1)时，f（x）单调递增
故fmax(x)∈{f(

1

e

)，f(1)}（8分）
又f(

1

e

)=ek-e，f(1)=k
当ek-e＞k，即

e

e-1

＜k≤e时，
fmax(x)=f(

1

e

)=ek-e
当ek-e≤k，即1≤k≤

e

e-1

时，
f_max（x）=f（1）=k（10分）

（III）g′(x)=f′(x)-k=

e

x

-

k

x2

-k，
∵g（x）在(

1

e

，e)在是减函数，
∴g'（x）≤0在x∈(

1

e

，e)上恒成立
即

e

x

-

k

x2

-k≤0在x∈(

1

e

，e)上恒成立，
∴k≥

e

x+ 1 x

在x∈(

1

e

，e)上恒成立，（12分）
又x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2当且仅当x=1时等号成立．
∴

e

x+ 1 x

≤

e

2

，∴k∈[

e

2

，+∞)（14分）

点评：本题关键是要明确导数在函数的单调性，极值，最值中的应用．