Question

       如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.

       （Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；             

       （Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；

       （Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，

所以DE//PC。

又因为DE平面BCP，

所以DE//平面BCP。

（Ⅱ）因为D，E，F，G分别为

AP，AC，BC，PB的中点，

所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。

所以四边形DEFG为平行四边形，

又因为PC⊥AB，

所以DE⊥DG，

所以四边形DEFG为矩形。

（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：

连接DF，EG，设Q为EG的中点

由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.

分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。

与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，

且QM=QN=EG，

所以Q为满足条件的点.