题目内容

如图，有一块边长为15cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，若该盒子的体积最大，那么截去的小正方形的边长x是________cm．

$\text{[math]}$
分析：先利用柱体的体积计算公式求出盒子的体积V关于x的函数关系式和x的取值范围，所得结果为三次函数，再利用导数求函数在开区间上取最大值时对应的x的值即可
解答：∵截去的小正方形的边长为xcm，
∴折成的无盖盒子底面是边长为（15-2x）cm的正方形，高是xcm．
∴盒子的体积V=x（15-2x）²，（0＜x $\text{[math]}$ ），
V′=x′（15-2x）²+x[（15-2x）²]′=（15-2x）²-4x（15-2x）=12x²-120x+225
令V′=0，即12x²-120x+225=0，解得，x= $\text{[math]}$ 或x= $\text{[math]}$
∵0＜x $\text{[math]}$ ，
∴x= $\text{[math]}$
∵当0＜x＜ $\text{[math]}$ 时，V′＞0，当x＞5时，V′＜0，
∴函数V=x（15-2x）²在（0， $\text{[math]}$ ）上是增函数，在（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上为减函数
∴当x= $\text{[math]}$ 时，V有极大值．
又∵V关于x的函数在区间（0， $\text{[math]}$ ）只有一个极大值，∴极大值也是区间（0， $\text{[math]}$ ）上的最大值．
∴当x= $\text{[math]}$ 时，该盒子的体积最大．
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题考查了将实际问题转化为数学问题的能力，利用导数研究函数性质，求函数在开区间上的最值的方法