Question

如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．
（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．
（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？

Answer 1

分析：（1）利用已知条件，结合直角三角形，直接用t表示出PQ的长度，然后推出△CPQ的周长l为定值．
（2）利用S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ，推出探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S，利用基本不等式求出面积的最小值（平方百米）．

解答：解：（1）BP=t，0≤t≤1，
∠DAQ=45°-θ，DQ=tan（45°-θ）=

1-t

1+t

，
CQ=1-

1-t

1+t

=

2t

1+t

，
∴PQ=

CP2+CQ2

=

(1-t)2+( 2t 1+t )2

=

1+t2

1+t

．
∴l=CP+CQ+PQ
=1-t+

2t

1+t

+

1+t2

1+t

=1-t+1+t=2．
（2）S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ
=1-

t

2

-

1

2

•

1-t

1+t

=2-

1

2

(t+1+

2

t+1

)
≤2-

2

．
当t=

2

-1时取等号．
探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为2-

2

（平方百米）．

点评：本题考查三角形的实际应用，函数值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．