题目内容

有人玩掷硬币走跳跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是0.5．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…第10站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次．若掷出正面，棋向前跳一站（从k到k+1）；若掷出反面，棋子向前跳二站（从k到k+2），直到棋子跳到第9站（胜利大本营）或跳到第10站（失败集中营）时，该游戏结束．那么棋子跳到第10站的概率为________．

$\text{[math]}$
分析：设棋子跳到第n站的概率为P（n），将棋子跳到第n站的事件分为两种情况：①由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站时掷出正面，跳动一次到第n站；②由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站时掷出反面，跳动二次到第n站．据此得到递推关系式：P（n）= $\text{[math]}$ P（n-1）+ $\text{[math]}$ P（n-2），然后变形得到数列{P（n+1）-P（n）}是公比为- $\text{[math]}$ 的等比数列，最后用累加的方法结合等比数列的求和公式，即可算出棋子跳到第10站的概率．
解答：设棋子跳到第n站的概率为P（n），
根据题意，棋子要到第n站，有两种情况，（2≤n≤10）
①由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站时掷出正面，其概率为 $\text{[math]}$ P（n-1），
②由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站时掷出反面，其概率为 $\text{[math]}$ P（n-2），
则P（n）= $\text{[math]}$ P（n-1）+ $\text{[math]}$ P（n-2），
∴P（n+1）= $\text{[math]}$ P（n）+ $\text{[math]}$ P（n-1），
两边都减去P（n），得P（n+1）-P（n）=- $\text{[math]}$ [P（n）-P（n-1）]，（1≤n≤9，n∈N），
故数列{P（n+1）-P（n）}是等比数列，它的公比为- $\text{[math]}$ ，
∵P（1）= $\text{[math]}$ ，P（2）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
首项为 P（2）-P（1）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（1）
第二项为 P（3）-P（2）=- $\text{[math]}$ [P（2）-P（1）]=- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（2）
第三项为 P（4）-P（3）=- $\text{[math]}$ [P（3）-P（2）]= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（3）
…
第九项为 P（10）-P（9）=- $\text{[math]}$ [P（9）-P（8）]= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（9）
将此九个式累加，得P（10）-P（1）=[ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴P（10）=P（1）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题借助于一个随机事件的概率问题，着重考查了等可能事件的概率公式和等比数列的通项与求和等知识点，属于难题．